อนุกรมเรขาคณิต

บทนิยามอนุกรมเรขาคณิต

     อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต   เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิตและอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

กำหนด      a₁,    a₁r,    a₁r²,   …,   a₁r ^n-1   เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้          a₁    +  a₁r  +  a₁r²  + … + a₁r ^n-1  เป็นอนุกรมเรขาคณิต

ซึ่งมี       a₁ เป็นพจน์แรก  และ  r  เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต

จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a₁,   a₂,   a₃,   …,   a_n   เป็น ลำดับเรขาคณิต ที่มี n  พจน์

จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป

 a₁  +  a₂  +  a₃ +  …  +  a_n     ว่า  อนุกรมเรขาคณิต 

และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

                                                                                                 Next                                                                                                                                                                                                                                   

ความหมาย

 ความหมายของอนุกรมเรขาคณิต

           อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต   เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต  และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของ อนุกรมเรขาคณิตด้วย

             กำหนด      a₁,    a₁r,    a₁r²,   …,  a₁r ^n-1  เป็นลำดับเรขาคณิต

               จะได้       a₁    +  a₁r  +  a₁r²  + … + a₁r ^n-1    เป็นอนุกรมเรขาคณิต

               ซึ่งมี        a₁ เป็นพจน์แรก  และ  r  เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต

ตัวอย่างของอนุกรมเรขาคณิต

                        1.   2 + 4 + 8 + 16 + …                       เป็น อนุกรมเรขาคณิต

                                เพราะ  2,  4,  8,  16,  …               เป็น ลำดับเรขาคณิต

                                และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ  2

                        2.   81 + 27 + 9 + 3 + …                     เป็น อนุกรมเรขาคณิต  

                                เพราะ  81,  27,  9,  3,  …            เป็น ลำดับเรขาคณิต  

                               และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ

                        3.  3 + 3 + 3 + 3 + …                           เป็น อนุกรมเรขาคณิต

                                เพราะ  3,  3,  3,  3,  …                  เป็น ลำดับเรขาคณิต

                                และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ  1

 รูปแบบของอนุกรมเรขาคณิต

   เมื่อ a,r เป็นค่าคงที่ a≠0 และ r อาจเป็นได้ทั้งค่าบวกและลบ

                                           เรียกว่า r ว่า อัตราส่วนร่วม (Common Ratio)

ตัวอย่างอนุกรมเรขาคณิตที่เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก

ตัวอย่าง 7 จงแปลงทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปแบบเศษส่วนโดยใช้ความรู้เรื่องอนุกรมเรขาคณิต

1. 0.777…    2. 0.7888…

  

Back                                                                                                     Next

การหาผลบวก n พจน์แรก

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต


ให้     S_n          แทนผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
                        ซึ่งมี      a₁     เป็นพจน์แรก และ   r    เป็นอัตราส่วนร่วม
                        S_n       =     a₁    +    a₁r + a₁r₂  + … + a₁r ^n-2+ a₁r ^n-1            --- (1)
                        สมการ (1) คูณ  r  จะได้
                        rS_n      =     a₁r + a₁r₂+ a₁r₃ + … + a₁r ^n-2+ a₁r ^n-1 +  a₁r ⁿ  --- (2)
                        สมการ (1) – (2)  จะได้
                       S_n  –  r_Sn     =    a₁-a₁rⁿ
                       (1 –  r)_Sn     =    a₁(1-rⁿ)
        


สรุป   ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต


            


  เมื่อ     S_n   แทนผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต


                   a₁    แทนพจน์ที่ 1
                   a_n    แทนพจน์ที่   n
                     r    แทนอัตราส่วนร่วม  พจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n






Back                                                                                         Next

การแก้โจทย์ปัญหา

การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต

ตัวอย่างที่ 1  อนุกรมเรขาคณิต   3   +   6   +   12   +   … จะต้องบวกกันกี่พจน์  จึงจะได้ผลบวกเป็น 765 

แนวคิด         กำหนด อนุกรมเรขาคณิต  3   +   6   +   12   +   …    =    765

                       ถามว่าจะต้องบวกกันกี่พจน์ คือหาค่า n  เมื่อ S_n  =  765

แก้ปัญหา       อนุกรมเรขาคณิต มี     a₁ = 3, r = 2, S_n = 765

                       หาค่าของ n จะต้องใช้สูตร

                                 

สรุป           อนุกรมนี้จะต้องบวกกัน    8    พจน์

ตัวอย่างที่ 2  อนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหนึ่ง มี พจน์แรกเท่ากับ 3    และ พจน์ที่ n  เท่ากับ 96   
                       และ ผล   บวก  n  พจน์แรก เท่ากับ 189 จงหาผลบวกของ 10 พจน์แรกของอนุกรมนี้

   แนวคิด     โจทย์กำหนด พจน์แรกเท่ากับ 3, พจน์ที่ n  เท่ากับ 96 และผลบวก n พจน์แรก

                       เท่ากับ 189 ถามผลบวกของ 10 พจน์แรกของอนุกรมนี้

  แก้ปัญหา   หาอัตราส่วนร่วม( r) ก่อนแล้วจึงหา  S₁₀

สรุป             ผลบวกของ 10 พจน์แรกของอนุกรมนี้ คือ  3,069

Back                                                                                                   Next

แบบฝึกหัด

เรื่อง อนุกรมเรขาคณิต

1. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต เมื่อกำหนดให้

          n = 4 , a₁ = 3 , r = 2

   จากสิ่งที่ โจทย์ กำหนดให้เราสามารถหาอนุกรมเรขาคณิต ได้ดังนี้

                                                                    

2. จงหาผลบวก 9 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 

       2+6+18+54+ …

 จากอนุกรมเรขาคณิต เราจะได้ 

 ดังนั้น ผลบวก 9 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ

3. จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

จากอนุกรมเรขาคณิต เราจะได้

ดังนั้น ผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ

Back                                                                                 Next 

แหล่งอ้างอิง

กระทรวงศึกษาธิการ.  หนังสือแบบเรียนวิชาคณิตศาสตร์  ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6  ค 015.    

                  กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว, 2533.

ทรงวิทย์  สุวรรณธาดา.  คณิตศาสตร์พื้นฐาน ช่วงชั้นที่ 4 (ม.4-ม.6)  ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 ภาคเรียนที่1
                 กรุงเทพฯ :  แม็ค, 2546.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี  กระทรวงศึกษาธิการ. คณิตศาสตร์  ค015 ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524
                (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533)  กรุงเทพฯ :  องค์การค้าคุรุสภา, 2536. 

Back                                                                                                  Next